本书使用教材为：《数学分析教程（第3版）》，大部分以抄书为笔记内容。
第一章 实数和数列极限
1.1 实数
Def 1. 对所有的有理数而言，均可用 p / q 来表示。
数域 ： 有理数经过加减乘除后仍为有理数，由此称全体有理数为数域。
Q1：试证明 \sqrt{2} 不是有理数。
tips：反证，表示为p / q,并且p与q无公因子。
若要证明 P + Q 为有理数，其中 Q 是无理数，那么考虑 (P + Q) - P = Q即可。
无穷递降法：
见课本P5，若 n 为正整数且不是完全平方数，那么 \sqrt{n} 是无理数。
tips: 同Q1,反证法，造出两串递减的正整数列说明这样的正整数不可能无止境地递减下去即可。
1.2 数列与收敛数列
Def 1. 收敛数列定义
$$\displaystyle 对\forall \epsilon > 0, \exists N \in N^*, 使得当 n > N 时，有 |a_n - a| < \epsilon$$
对于发散数列，对上面的话反着说即可。
$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} q ^ n = 0,|q| < 1$$
$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}} = 1$$
1.3 收敛数列的性质
Def 1. 收敛数列的极限是唯一的。
tips: 假设一个数列收敛于两个值，最后两个值进行做差的结果是 < \epsilon => 即 a = b
Def 2. 收敛数列必有界
tips: 任取一个数，使用一次三角不等式。
Def 3. 设{an}的极限为a,那么他的任何一个子列都收敛于a。
tips: 显然。
Def 4. 若数列 {an} 的两个子列收敛于不同极限，那么 {an} 发散
tips: 书上例子：an = sin n。
Def 5. 收敛必有界，有界不一定收敛。
tips: (-1) ^ n。
Def 6. 设 {an} {bn} 是两个收敛数列，那么他们必然是满足四则运算的,(要求做除法的时候分母不为0，若分母为0则分子也需要为0)。
tips: 证明见书P15
Def 7. 若 {an} 是无穷小，那么 {|an|} 也是无穷小，反之亦能推出。
Def 8. 有界数列乘无穷小量仍为无穷小量。
Def 9. 若 0 <= an <= bn,那么当{bn} 为无穷小量时，{an}也为无穷小。（若没有an >= 0这个条件，那么这个结论不成立。）
Def 10. {an} 的极限为 a,那么 {an - a} 也是无穷小。
Def 11. 若 an <= bn <= cn, 若{an} {cn}极限均为 a , 那么 {bn} 的极限也为 a。（对于条件不强制要求等号）。
Def 12. 约定 {an} 的极限为 a
Case 1： α < a < β，则当 n 充分大的时候，有 α < an < β。
Case 2： {bn} 的极限为 b，且 a < b,n > N, an < bn。
Case 3： {bn} 的极限为 b，若 n > N, an <= bn, 那么 a < b。
1.4 数列极限概念的推广
$$\displaystyle 对\forall A > 0, \exists N, 使得当 n > N 时，有 |a_n| > A$$
Def 1. 无穷大量一定无界，反之不成立。
tips: (1,0,2,0,……)
Def 2. 从无界数列中必然可以取出一个无穷大的子列。
tips: 显然。
Def 3. 如果说{an}是发散数列，那么他的任何子列都有{a_{kn}} 必发散。
Def 4. 若 {an} {bn} 都是发散数列，那么他们的和或者乘积也是发散的。
Def 5. 若 {an} 是无穷大， 那么其倒数必然是无穷小。
1.5 单调数列
Def 1. 单调有界数列必有极限。
tips: 见书P26（有点繁琐
Def 2. (闭区间套定理)
$$\displaystyle 设 I_n = [a_n,b_n] 是一列闭区间，满足$$
$$\displaystyle (1): [a_1,b_1] \supset [a_2,b_2] \supset \cdots \supset [a_n,b_n]$$
$$\displaystyle (2): b_n - a_n \rightarrow 0 (n\rightarrow \infty)$$
$$\displaystyle 那么存在唯一的一点a \in [a_n,b_n],n = 1,2,\cdots,(a\in\cap [a_n,b_n])$$
1.6 自然对数的底数e
讨论数列 {e_n} 和 {s_n} 之间的关系，其中S_n为 e 的泰勒展开
e 是无理数
1.7 基本列和Cauchy收敛原理
{a_n}是个基本列：
$$\displaystyle 对\forall \epsilon > 0, \exists N,有n,m > N,都有|a_n - a_m| < \epsilon $$
或者
$$\displaystyle 对\forall \epsilon > 0, \exists N,有n > N,都有|a_{n + p} - a_n| < \epsilon,对\forall p \in N^*均成立 $$
Def 1.(Bolzano-Weierstrass定理) 从任何数列中必能取出单调的子列。（也叫列紧性定理）
Def 2. 数列{an}收敛的充分必要条件是：{an}是一个基本列。
1.8 上确界和下确界
数集 (不是数列)，eg: E = (0,1)
$$\displaystyle \begin{cases} \forall x \in E,x \leq B \ \forall x \in E,x \geq A\end{cases}$$
Def 1. 设 E 是一个非空的有上界的集合，若有 α，β满足
$$\displaystyle Case 1: \forall x \in E , x\leq \beta$$
$$\displaystyle Case 2: \forall \epsilon > 0, \exists x_\epsilon \in E , x_\epsilon > \beta - \epsilon$$
那么称 β 是 E 的上确界，认为 β = sup E (supremum)
Def 2. 设 E 是一个非空的有下界的集合，若存在 α 满足
$$\displaystyle Case 1: \forall x \in E , x\geq \alpha$$
$$\displaystyle Case 2: \forall \epsilon > 0, \exists y_\epsilon \in E , y_\epsilon < \alpha + \epsilon$$
那么称 α 是 E 的上确界，认为 α = inf E (infimum)
Def 3. 有上界的非空集合必有上确界
**tips:**（二分法）。
Def 4. 有下界的非空集合必有下确界
tips: 同上。
Def 5.
$$\displaystyle \begin{cases} 若 E 无上界，规定 supE = +\infty \ 若 E 无下界，规定 infE = -\infty \end{cases}$$
1.9 有限覆盖定理
一族开区间
$$\kappa = {I_\lambda,\lambda \in A}$$
其中 I_A为开区间。
$$\kappa = {I_\lambda}覆盖了E：\forall x \in E,\exists I_\lambda \in \kappa,使得x \in I_\lambda$$
def 1:(Heine-Borel) 设有限闭区间 [a,b] 被一族开区间所覆盖，那么必然可以从中取出有限的开区间，它们仍然构成 [a,b] 的一个开覆盖。
tips: 反证 + 二分。
特别得，该定理有限区间不能为无穷区间。
$$eg : {(0,n)}_{n =1,2,\cdots},区间[1,+\infty]$$
1.10 上极限和下极限
Def 1: {a_n} 有界，那么子列收敛于 l （称之为一个极限点）
Def 2:
$$约定 E = {a_n 的所有极限点的全体}$$
$$a^* = sup E, a_* = inf E$$
$$\displaystyle \begin{cases} a^* = \lim_{n \to \infty} sup (a_n) ,上极限 \ a_* = \lim_{n \to \infty} inf (a_n) ,下极限 \end{cases}$$
Def 3: