0%

致谢

首先我能够有这一个博客,与我的朋友remy有很大的关系,这里特别感谢他这几天一直来帮我debug。


该博客会以数学与算法为主,其中数学以分析方向为主,其他方向我不擅长,算法里面的数学内容大概率会更新,但不会有太多。

特别提醒:该日志会不断更新(?


2022 暑假

数学:

数学分析每日一题

2022牛客多校:

2022牛客多校第一场

2022牛客多校第二场

2022牛客多校第三场

2022牛客多校第四场

2022牛客多校第五场

2022牛客多校第六场

2022牛客多校第七场

2022牛客多校第八场

2022牛客多校第九场

2022牛客多校第十场

标签

数学分析:

一个常见无穷积分的证明

一道非数学系竞赛题的推广

数列极限的几种计算方法

算法笔记:

算法笔记(00):STL专题

算法笔记(01):排序中的算法

算法笔记(02):背包问题

算法笔记(03):树状数组与线段树

算法笔记(04):基础dp

算法笔记(05):并查集

Codeforces讲解:

Educational Codeforces Round 124 (Rated for Div. 2)

Educational Codeforces Round 131 (Rated for Div.2)

受牛客多校队友影响,也开始了Codeforces补千题的计划

Codeforces补题


代码模板

对于该ACM代码模板,不保证里面的代码能考虑到所有的情况,因此如果借用模板没通过,多读读题。

链接

板子


2022目标

Codeforces rank 蓝名门槛至中间 (多练)

以及EDG夺冠的Flag(希望毕业前能完成):

Stein 《复分析》第四版

啃裴砖、樊砖

公众号:玖的数学天地MathUniverse

数分每日一题

8.1

Fejer积分

$$\displaystyle I_n = \int_{0} ^ \frac{\pi}{2}(\frac{\sin nx}{\sin x})^2\mathrm{d}x$$

证明

$$\displaystyle I_n = \frac{n \pi}{2}$$

prove:

$$\displaystyle I_n - I_{n - 1} = \int_{0} ^ {\frac{\pi}{2}}\frac{\sin ^ 2 nx - \sin^2{(n-1)x}}{\sin ^2 x}\mathrm dx$$

$$\displaystyle =\frac{1}{2} \int_{0} ^ \frac{\pi}{2} \frac{\cos(2n - 2)x - \cos 2nx}{\sin ^ 2x}\mathrm dx$$

$$\displaystyle = \int_{0} ^ \frac{\pi}{2} \frac{\sin (2n - 1)x}{\sin x}\mathrm dx = J_{n}$$

$$\displaystyle J_n - J_{n-1} = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin(2n - 1)x - \sin(2n - 3)x}{\sin x}\mathrm dx$$

$$\displaystyle = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{2\sin\frac{2n - 1 -(2n - 3)}{2} x \cdot \cos \frac{(2n - 1 ) + (2n - 3)}{2}x}{\sin x}\mathrm dx$$

$$\displaystyle = 2\int_0^\frac{\pi}{2} \cos(2n - 2)x \mathrm dx = 0$$

即得出

$$J_n = J_{n-1} = \cdots = J_{1}$$

$$\displaystyle J_1 = \int_{0}^\frac{\pi}{2} \mathrm dx = \frac{\pi}{2} , I_1 = \frac{\pi}{2}$$

因此由等差数列求和公式得出

$$\displaystyle I_n = I_1 + (n - 1)\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{n\pi}{2}$$

8.2

IMC 2022 Day1 problem1

Problem 1 : Let f :[0,1]->(0,∞) be an integrable function such that f(x) · f(1-x) = 1 for all x ∈ [0,1]. Prove that

$$\displaystyle \int_0^{1} f(x)\mathrm{d}x \geq 1$$

译:设**f[0,1] -> (0,+∞)**是一个可积函数,满足f(x)f(1-x) = 1,对于所有x∈[0,1],证明:

$$\displaystyle \int_0^{1} f(x)\mathrm{d}x \geq 1$$

在初次动手本题的时候我也没想到这是道错题,直到我看到了向老师讲数学公众号举出的反例才意识到。

本题条件较弱,若考虑 f 只是可积的,那么 f 未必一定是正值函数,例如考虑

$$f(x)=1,x\in[0,\frac{1}{4})\cup(\frac{3}{4},1]$$

$$f(x)=-1,x\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]$$

那么是满足条件的,但是

$$\displaystyle \int_0^{1}f(x)\mathrm{d}x = 0$$

所以本题需要将条件加强,将 可积 改成 连续 即可。

Prove1:

AM-GM 不等式得

$$\displaystyle f(x) + f(1-x) \geq 2\sqrt{f(x)f(1-x)}=2$$

同时我们考虑

$$\displaystyle \int_0^{1}f(x)\mathrm{d}x = \int_0^\frac{1}{2}f(x)\mathrm{d}x+\int_0^\frac{1}{2}f(1-x)\mathrm{d}x$$

$$\displaystyle =\int_0^\frac{1}{2}(f(x)+f(1-x))\mathrm{d}x\geq\int_0^\frac{1}{2}2\mathrm{d}x=1$$

Prove2:

注意到:

$$\displaystyle \int_0^1 f(x)\mathrm{d}x=\int_0^1 f(1-x)\mathrm{d}x =\int_0^1\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x$$

所以有

$$\displaystyle (\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x)^2 = \int_0^1 f(x)\mathrm{d}x\cdot\int_0^1\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x \geq (\int_0^1 1\mathrm{d}x)^2\geq1$$

8.3

3