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一道非数学系竞赛题的推广

题目引入

$$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x \sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^2}$$

(题源:2018年第十届非数竞赛第一大题第4小题)

首先预备知识:

$$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$$

$$\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{x}{n} $$

好的那我们可以开始操作了

$$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x \sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^3}$$

$$=\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x+\cos x (1-\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x})}{x^3}$$

$$=\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x}{x^2}+\displaystyle\lim_{x\to0} \frac {\cos x (1-\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x})}{x^2}$$

$$=\frac{1}{2}+\displaystyle\lim_{x\to0} \frac {1-\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^2}$$

$$=\frac{1}{2}+\displaystyle\lim_{x\to0} \frac {1-\sqrt{\cos 2x}+\sqrt{\cos 2x}(1-\sqrt[3]{\cos 3x})}{x^2}$$

$$=\frac{1}{2}+\displaystyle\lim_{x\to0} \frac {1-\sqrt{(\cos 2x-1)+1}}{x^2}+\displaystyle\lim_{x\to0} \frac {1-\sqrt[3]{(\cos 3x-1)+1}}{x^2}$$

$$=\frac{1}{2}+\displaystyle\lim_{x\to0} \frac {1-\cos 2x}{2x^2}+\displaystyle\lim_{x\to0} \frac {1-\cos 3x}{3x^2}$$

$$=\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}=3$$

当然对于此题我们还可以用带Peano余项的麦克劳林公式

$$\cos x =1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$$

$$(\cos 2x)^\frac{1}{2} =1-x^2+o(x^2)$$

$$(\cos 3x)^\frac{1}{3} =1-\frac{3x^2}{2}+o(x^2)$$

从而有

$$\cos x (\cos 2x)^\frac{1}{2} (\cos 3x)^\frac{1}{3}=1-3x^2+o(x^2) $$

代入得

$$A=\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{3x^2+o(x^2)}{x^2}=3$$

不过这并不是我想讲的重点(

对于上述的题,实际上我们可以进行推广(相同的办法)

变式1

$$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x \sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}\cdots\sqrt[N]{\cos Nx}}{x^2}$$

$$=\displaystyle\lim_{x\to0}\sum_{n=1}^N \frac{1-\sqrt[n]{\cos nx}}{x^2}\cdot \prod_{k=n+1}^N 1$$

$$=\displaystyle\sum_{n=1}^N \frac{n}{2}\cdot \prod_{k=n+1}^N 1$$

$$=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^N n=\frac{1+2+3+\cdots+N}{2}$$

$$=\frac{N(N+1)}{4}$$

显然对于变式1的结论,我们将上述题目里n=3代入也能得到结果。

变式2

$$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x \cos 2x \cos 3x\cdots \cos nx}{x^2}$$

$$=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} +\lim_{x\to0}\frac{\cos x(1- \cos 2x \cos 3x\cdots \cos nx)}{x^2}$$

$$=\displaystyle\lim_{x\to0}\sum_{k=1}^n \prod_{i=0}^{k-1}\cos ix\cdot\frac{1-\cos kx}{x^2}$$

$$=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}$$

当然上面的变式也可以用麦克劳林公式,留做习题。

最后丢一道思考题

$$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{x-\sin(\sin(\sin(\sin(\sin(\sin(\sin(\sin(\sin(\sin(\sin(\sin(x))))))))))))}{x^3}$$

当然这题也是十分的trivial,方法可以同上,答案是2,解答不写了(

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没有解答了

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好吧 其实就是

这道题是有一个规律的,可以考虑先从

$$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{x-\sin x}{x^3}$$

入手,然后再套一个正弦函数,以此类推,若记规律为I_k,那么

$$I_k=\frac{k}{6}$$

其中 k为sin的个数