学会动脑子（
行列式
？
矩阵
矩阵的运算
$$注意(AB)’ = B’A’$$
矩阵可交换的意思是：AB=BA
幂零阵：A^{n} = O
如果一个矩阵是幂0阵，那么可以分解成
$$(I_n - A)(I_n + A + A^2 + \cdots + A^{n - 1}) = I_n$$
方阵的逆阵
对合阵$$\displaystyle A^2 = I_n$$
幂等阵 $$A^2 = A$$
分块矩阵
约定A,B为n阶方阵，那么会有结论：
$$\displaystyle \begin{vmatrix}A & B \ B & A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A + B \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A - B \end{vmatrix}$$
约定A,B为n阶复方阵，那么会有结论:
$$\begin{vmatrix} A & -B \ B & A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A + iB \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A - iB \end{vmatrix}$$
约定A,B为n阶方阵且AB=BA，那么会有结论
$$\begin{vmatrix} A & -B \ B & A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A^2+B^2 \end{vmatrix}$$
设A为n阶方阵，求证：A是反对称阵的充分必要条件是对任意的n维列向量α，有
$$\displaystyle \alpha’A \alpha = 0$$
$$\displaystyle 设A为m\times n矩阵，B为n\times m矩阵，使得I_m+AB可逆，能推出In+BA也可逆$$
$$设A,B均为n阶可逆矩阵，使得A^{-1}+B^{-1}可逆，能推出A+B也可逆，并且(A+B)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}(A^{-1}+B^{-1})^{-1}A^{-1}$$
伴随矩阵所有元素之和就是原矩阵所有代数余子式之和
斜Hermite阵：n阶实矩阵A满足A’=-A
矩阵的秩
Sylvenster不等式
设A是m×n矩阵，B是n×t矩阵，有下面的(Sylvenster不等式)不等式成立：
$$r(AB)\geq r(A) + r(B) - n$$
推论：若上条件追加一个AB=O,则
$$r(A)+r(B)\leq n$$
若将上面式子推广到m个n阶矩阵其乘积为0，就会有：
$$r(A_1)+r(A_2)+\cdots+r(A_m)\leq (m - 1)n$$
Frobenius不等式
将Sylvester不等式推广
$$r(ABC)\geq r(AB) + r(BC) - r(B)$$