题目引入
$$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x \sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^2}$$
(题源:2018年第十届非数竞赛第一大题第4小题)
首先预备知识：
$$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$$
$$\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{x}{n} $$
好的那我们可以开始操作了
$$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x \sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^3}$$
$$=\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x+\cos x (1-\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x})}{x^3}$$
$$=\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x}{x^2}+\displaystyle\lim_{x\to0} \frac {\cos x (1-\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x})}{x^2}$$
$$=\frac{1}{2}+\displaystyle\lim_{x\to0} \frac {1-\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^2}$$
$$=\frac{1}{2}+\displaystyle\lim_{x\to0} \frac {1-\sqrt{\cos 2x}+\sqrt{\cos 2x}(1-\sqrt[3]{\cos 3x})}{x^2}$$
$$=\frac{1}{2}+\displaystyle\lim_{x\to0} \frac {1-\sqrt{(\cos 2x-1)+1}}{x^2}+\displaystyle\lim_{x\to0} \frac {1-\sqrt[3]{(\cos 3x-1)+1}}{x^2}$$
$$=\frac{1}{2}+\displaystyle\lim_{x\to0} \frac {1-\cos 2x}{2x^2}+\displaystyle\lim_{x\to0} \frac {1-\cos 3x}{3x^2}$$
$$=\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}=3$$
当然对于此题我们还可以用带Peano余项的麦克劳林公式
$$\cos x =1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$$
$$(\cos 2x)^\frac{1}{2} =1-x^2+o(x^2)$$
$$(\cos 3x)^\frac{1}{3} =1-\frac{3x^2}{2}+o(x^2)$$
从而有
$$\cos x (\cos 2x)^\frac{1}{2} (\cos 3x)^\frac{1}{3}=1-3x^2+o(x^2) $$
代入得
$$A=\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{3x^2+o(x^2)}{x^2}=3$$
不过这并不是我想讲的重点（
对于上述的题，实际上我们可以进行推广（相同的办法）
变式1
$$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x \sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}\cdots\sqrt[N]{\cos Nx}}{x^2}$$
$$=\displaystyle\lim_{x\to0}\sum_{n=1}^N \frac{1-\sqrt[n]{\cos nx}}{x^2}\cdot \prod_{k=n+1}^N 1$$
$$=\displaystyle\sum_{n=1}^N \frac{n}{2}\cdot \prod_{k=n+1}^N 1$$
$$=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^N n=\frac{1+2+3+\cdots+N}{2}$$
$$=\frac{N(N+1)}{4}$$
显然对于变式1的结论，我们将上述题目里n=3代入也能得到结果。
变式2
$$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x \cos 2x \cos 3x\cdots \cos nx}{x^2}$$
$$=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} +\lim_{x\to0}\frac{\cos x(1- \cos 2x \cos 3x\cdots \cos nx)}{x^2}$$
$$=\displaystyle\lim_{x\to0}\sum_{k=1}^n \prod_{i=0}^{k-1}\cos ix\cdot\frac{1-\cos kx}{x^2}$$
$$=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}$$
当然上面的变式也可以用麦克劳林公式，留做习题。
最后丢一道思考题
$$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{x-\sin(\sin(\sin(\sin(\sin(\sin(\sin(\sin(\sin(\sin(\sin(\sin(x))))))))))))}{x^3}$$
当然这题也是十分的trivial，方法可以同上，答案是2，解答不写了（
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没有解答了
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好吧 其实就是
这道题是有一个规律的，可以考虑先从
$$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{x-\sin x}{x^3}$$
入手，然后再套一个正弦函数，以此类推，若记规律为I_k，那么
$$I_k=\frac{k}{6}$$
其中 k为sin的个数